在相似的復(fù)習(xí)課中，同學(xué)們遇到了一道題：已知∠C=90°，請設(shè)計三種不同方法，將Rt△ABC分割成四個小三角形，使每個小三角形與原三角形相似．
（1）甲同學(xué)設(shè)計了如圖1分割方法：D是斜邊AB的中點，過D分別作DE⊥AC，DF⊥BC，請判斷甲同學(xué)的做法是否正確，并說明理由．
（2）乙同學(xué)設(shè)計了如圖2分割方法，過點D作FD⊥AB，DE⊥BC，連結(jié)EF，易證△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，但是只有D在AB特殊位置時，才能證明另兩個三角形與原三角形相似，李老師通過幾何畫板，發(fā)現(xiàn)∠A=30°時，ADDB=34，∠A=45°時，ADDB=12，∠A=60°時，ADDB=14．猜測對于任意∠A，當(dāng)ADDB=AC2AB2AC2AB2（用AC，BC或AB相關(guān)代數(shù)式表示），結(jié)論成立．請補充條件并證明．
（3）在普通三角形中，顯然連結(jié)三角形中位線分割成四個小三角形與原三角形相似．你能參考乙同學(xué)的分割方法找到其他分割方法嗎？請做出示意圖并作適當(dāng)分割說明（不要求證明過程）．
AD
DB
=
3
4
AD
DB
=
1
2
AD
DB
=
1
4
AD
DB
A
C
2
A
B
2
A
C
2
A
B
2
【考點】相似形綜合題．
【答案】
A
C
2
A
B
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：105引用：1難度：0.1
相似題
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1．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是上底AD的中點，P是腰AB上一動點，連接PE并延長，交射線CD于點M，作EF⊥PE，交下底BC于點F，連接MF交AD于點N，連接PF，AB=AD=4，BC=6，點A、P之間的距離為x,△PEF的面積為y.
（1）當(dāng)點F與點C重合時，求x的值；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當(dāng)∠CMF=∠PFE時，求△PEF的面積．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：240引用：1難度：0.5 -
2．【感知】如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別是邊AC、BC的中點，連接DE．則△CDE與△CAB的面積比為．
【探究】將圖①的△CDE繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，使點E落在△ABC內(nèi)部，連接AD、BE，并延長BE分別交AC、AD于點O、F，其它條件不變，如圖②．
（1）求證：△ACD∽△BCE．
（2）求證：AD⊥BF．
【應(yīng)用】將圖②的△CDE繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D恰好落在邊BC的延長線上，連接AD、BE，BE的延長線交AD于點F，其它條件不變，如圖③，若AC=4，BC=3，則BF的長為．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：301引用：1難度：0.1 -
3．【閱讀】“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方式，角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多……
（1）【問題提出】如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證．PAPB=ACBC
請根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明；小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過點B作BD∥PA，交PC的延長線于點D，利用“三角形相似”．
小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，過點C分別作CD⊥PA交PA于點D，作CE⊥PB交PB于點E，利用“等面積法”．
（2）【理解應(yīng)用】填空：如圖②，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，CD平分∠ACB交AB于點D，則BD長度為 ；
（3）【深度思考】如圖③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是邊BC上一點，連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊點C恰好落在邊AB上的E點處．若AC=1，AB=2，則DE的長為 ；
（4）【拓展升華】如圖④，△ABC中，AB=6，AC=4，AD為∠BAC的角平分線，AD的垂直平分線EF交BC延長線于F，連接AF，當(dāng)BD=3時，AF的長為 ．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：317引用：1難度：0.1