人教五四新版九年級(jí)（上）中考題同步試卷：28.3 二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題（17）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）、B（-2，0）和點(diǎn)C（0，-8）．
  （1）求該二次函數(shù)的解析式；
  （2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M，若點(diǎn)K為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△KCM的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)K的坐標(biāo)為

   

  ；
  （3）連接AC，有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線(xiàn)OAC按O→A→C的路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線(xiàn)OCA按O→C→A的路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△OPQ的面積為S．
  ①請(qǐng)問(wèn)P、Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
  ②請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；
  ③設(shè)S₀是②中函數(shù)S的最大值，直接寫(xiě)出S₀的值．
  組卷：745引用：55難度：0.5

  解析

• 2．如圖，已知：如圖①，直線(xiàn)y=-

  3

  x+

  3

  與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)D、E分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)停止）；對(duì)稱(chēng)軸過(guò)點(diǎn)A且頂點(diǎn)為M的拋物線(xiàn)y=a（x-k）²+h（a＜0）始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，過(guò)E作EG∥OA交拋物線(xiàn)于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，連接DE、DF、AG、BG．設(shè)D、E的運(yùn)動(dòng)速度分別是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和

  3

  個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
  （1）用含t代數(shù)式分別表示BF、EF、AF的長(zhǎng)；
  （2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ADEF是菱形？判斷此時(shí)△AFG與△AGB是否相似，并說(shuō)明理由；
  （3）當(dāng)△ADF是直角三角形，且拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M恰好在BG上時(shí)，求拋物線(xiàn)的解析式．
  
  組卷：920引用：53難度：0.5

  解析

• 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點(diǎn)P在AB上，PA=1，AO=2．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=mx²-x+n的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2．
  （1）求出該拋物線(xiàn)的解析式．
  （2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長(zhǎng)的三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和C．現(xiàn)在利用圖2進(jìn)行如下探究：
  ①將三角板從圖1中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交OA、OC于點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．請(qǐng)你觀察、猜想，在這個(gè)過(guò)程中，

  PE

  PF

  的值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，求出

  PE

  PF

  的值．
  ②設(shè)（1）中的拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)為M，在①的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)F，使△DMF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  
  組卷：775引用：54難度：0.5

  解析

• 4．如圖，直線(xiàn)y=kx+b（b＞0）與拋物線(xiàn)

  y

  =

  1

  8

  x

  2

  相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，與x軸正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C，設(shè)△OCD的面積為S，且kS+32=0．
  （1）求b的值；
  （2）求證：點(diǎn)（y₁，y₂）在反比例函數(shù)

  y

  =

  64

  x

  的圖象上；
  （3）求證：x₁?OB+y₂?OA=0．
  組卷：1065引用：54難度：0.5

  解析

• 5．如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點(diǎn)O（0，0）在拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c （a≠0）上．
  （1）求拋物線(xiàn)的解析式．
  （2）將直線(xiàn)OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．
  （3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿(mǎn)足△POD∽△NOB的點(diǎn)P的坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)）
  
  組卷：573引用：54難度：0.5

  解析

• 6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且長(zhǎng)分別為m、4m（m＞0），D為邊AB的中點(diǎn)，一拋物線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D及點(diǎn)M（-1，-1-m）．
  （1）求拋物線(xiàn)l的解析式（用含m的式子表示）；
  （2）把△OAD沿直線(xiàn)OD折疊后點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，連接OA′并延長(zhǎng)與線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，若拋物線(xiàn)l與線(xiàn)段CE相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
  （3）在滿(mǎn)足（2）的條件下，求出拋物線(xiàn)l頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo)．
  組卷：705引用：53難度：0.5

  解析

• 7．如圖，拋物線(xiàn)y=-

  1

  8

  x²+mx+n經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)C在x軸的正半軸上．
  （1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
  （2）點(diǎn)E為線(xiàn)段OC上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)E為邊在第一象限內(nèi)作正方形OEFG，當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在線(xiàn)段AC上時(shí)，求線(xiàn)段OE的長(zhǎng)；
  （3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)平移的距離為t,正方形DEFG的邊EF與AC交于點(diǎn)M，DG所在的直線(xiàn)與AC交于點(diǎn)N，連接DM，是否存在這樣的t,使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
  （4）在上述平移過(guò)程中，當(dāng)正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出重疊部分的面積S與平移距離t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；并求出當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？
  
  組卷：498引用：52難度：0.5

  解析

• 8．如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線(xiàn)段OB上的動(dòng)點(diǎn)（不與O、B重合），過(guò)點(diǎn)P垂直于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)及線(xiàn)段BC分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF．
  （1）求拋物線(xiàn)的解析式；
  （2）當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
  （3）過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)將（2）中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分，求這條直線(xiàn)的解析式．（不必說(shuō)明平分平行四邊形面積的理由）
  
  組卷：757引用：58難度：0.5

  解析

• 9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（3，4）的拋物線(xiàn)交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5）．
  （1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
  （2）過(guò)點(diǎn)B作線(xiàn)段AB的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線(xiàn)BD相切，請(qǐng)判斷拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C有什么位置關(guān)系，并給出證明；
  （3）在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：933引用：53難度：0.5

  解析

• 10．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A、C、D作拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0），與x軸的另一交點(diǎn)為E，連接CE，點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（3，0）、（0，4）．
  （1）求拋物線(xiàn)的解析式；
  （2）已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l交x軸于點(diǎn)F，交線(xiàn)段CD于點(diǎn)K，點(diǎn)M、N分別是直線(xiàn)l和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接MN，當(dāng)線(xiàn)段MN恰好被BC垂直平分時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
  （3）在滿(mǎn)足（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)M作一條直線(xiàn)，使之將四邊形AECD的面積分為3：4的兩部分，求出該直線(xiàn)的解析式．
  組卷：667引用：54難度：0.5

  解析

一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，已知點(diǎn)A（0，4），B（2，0）．
  （1）求直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式；
  （2）已知點(diǎn)M是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），以M為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=（x-m）²+n與線(xiàn)段OA交于點(diǎn)C．
  ①求線(xiàn)段AC的長(zhǎng)；（用含m的式子表示）
  ②是否存在某一時(shí)刻，使得△ACM與△AMO相似？若存在，求出此時(shí)m的值．
  組卷：511引用：53難度：0.5

  解析

• 30．如圖，已知直線(xiàn)y=x與拋物線(xiàn)

  y

  =

  1

  2

  x

  2

  交于A、B兩點(diǎn)．
  （1）求交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
  （2）記一次函數(shù)y=x的函數(shù)值為y₁，二次函數(shù)

  y

  =

  1

  2

  x

  2

  的函數(shù)值為y₂．若y₁＞y₂，求x的取值范圍；
  （3）在該拋物線(xiàn)上存在幾個(gè)點(diǎn)，使得每個(gè)點(diǎn)與AB構(gòu)成的三角形為等腰三角形？并求出不少于3個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  組卷：429引用：54難度：0.5

  解析