2023-2024學年廣東省廣州市廣雅中學高二（上）期中數學試卷

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）

• 1．集合

  A

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  2

  -

  2

  x

  }

  ，

  B

  =

  {

  x

  |

  x

  2

  -

  3

  x

  ≤

  0

  }

  ，則A∩B=（　?。?/h2>

  A．[0，1]

  B．[1，3]

  C．[0，3]

  D．（-∞，3]
  組卷：32引用：1難度：0.8

  解析

• 2．已知復數

  z

  =

  2

  i

  1

  -

  i

  ，則

  z

  ?

  z

  的值為（　?。?/h2>

  A．0

  B． 2

  C．2

  D．-2
  組卷：32難度：0.9

  解析

• 3．若cos（α+β）=

  3

  5

  ，sin（

  β

  -

  π

  4

  ）=

  5

  13

  ，α，β∈（0，

  π

  2

  ），則cos（

  α

  +

  π

  4

  ）=（　　）

  A． - 33 65

  B． 33 65

  C． 56 65

  D． - 16 65
  組卷：641難度：0.6

  解析

• 4．

  f

  （

  x

  ）

  =

  ln （ x 2 + a ） ， x ＜ 0

  f （ x - 2 ） ， x ≥ 0

  ，若f（2023）=1，則正數a的值是（　　）

  A．e+1

  B．e

  C．e-1

  D．1
  組卷：46難度：0.8

  解析

• 5．在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=2，OC=3，G為△ABC的重心，則

  OG

  ?

  （

  OA

  +

  OB

  +

  OC

  ）

  =（　　）

  A． 5 3

  B． 7 3

  C． 10 3

  D． 14 3
  組卷：89引用：2難度：0.7

  解析

• 6．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,若

  acos

  B

  =

  c

  2

  ，且

  |

  CA

  +

  CB

  |

  =

  |

  CA

  -

  CB

  |

  ，則∠A=（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． π 4

  D． π 2
  組卷：58引用：2難度：0.5

  解析

• 7．函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  x

  5

  3

  ln

  |

  x

  |

  在其定義域上的圖象大致為（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  組卷：216引用：6難度：0.8

  解析

四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．如圖，在平面四邊形ABCD中，點B與點D分別在AC的兩側，對角線AC與BD交于點E，BC=CD=2．
  （1）若△ABC中三個內角A，B，C分別對應的邊長為a,b,c,△ABC的面積

  S

  =

  3

  12

  （

  a

  2

  +

  b

  2

  -

  c

  2

  ）

  ，

  BD

  =

  3

  BE

  ，求∠BCA和∠BCD；
  （2）若

  AD

  =

  2

  AB

  ，且

  ∠

  BAD

  =

  π

  4

  ，設∠CBD=α，求對角線AC的最大值和此時α的值．
  組卷：95引用：4難度：0.6

  解析

• 22．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  -

  1

  2

  x

  +

  1

  ，

  g

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  +

  f

  （

  x

  ）

  
  （1）直接判斷函數f（x）在定義域上的單調性（無需證明）
  （2）求函數g（x）在定義域上的點個數，并證明．
  （3）若方程f（x）-mf（2x）=0在x∈[1，2]上有兩個不等實數根，求實數m的取值范圍．
  組卷：35引用：1難度：0.6

  解析