人教五四新版九年級（上）中考題同步試卷：28.3 二次函數(shù)與實際問題（16）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（-1，0），對稱軸為直線x=1，點P為線段BC上（不含B、C兩點）的一個動點，PF∥y軸交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m.
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）用含m的代數(shù)式表示線段PF的長；
  （3）設△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關系式，并確定當m為何值時△BCF的面積最大．
  組卷：191引用：50難度：0.1

  解析

• 2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經過點A、C、B的拋物線的一部分C₁與經過點A、D、B的拋物線的一部分C₂組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，-

  3

  2

  ），點M是拋物線C₂：y=mx²-2mx-3m（m＜0）的頂點．
  （1）求A、B兩點的坐標；
  （2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；
  （3）當△BDM為直角三角形時，求m的值．
  組卷：2294引用：83難度：0.5

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• 3．如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m,請用含m的代數(shù)式表示PM的長；
  （3）在（2）的條件下，連接PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．
  組卷：1664引用：74難度：0.5

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• 4．如圖1，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）兩點．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；
  （3）如圖2，若點P為平面上一點，點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）．
  
  組卷：2126引用：68難度：0.5

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• 5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與坐標軸分別交于A、B兩點，過A、B兩點的拋物線為y=-x²+bx+c.點D為線段AB上一動點，過點D作CD⊥x軸于點C，交拋物線于點E．
  （1）求拋物線的解析式．
  （2）當DE=4時，求四邊形CAEB的面積．
  （3）連接BE，是否存在點D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點D坐標；若不存在，說明理由．
  組卷：2177引用：66難度：0.5

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• 6．如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉90°，得到△DOC，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B、C．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若點P是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t,
  ①設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求出當△CEF與△COD相似時，點P的坐標；
  ②是否存在一點P，使△PCD的面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：2011引用：71難度：0.5

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• 7．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與直線y=

  1

  2

  x+2交于C、D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為（3，

  7

  2

  ）．點P是y軸右側的拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交CD于點F．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若點P的橫坐標為m,當m為何值時，以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由．
  （3）若存在點P，使∠PCF=45°，請直接寫出相應的點P的坐標．
  
  組卷：4889引用：71難度：0.5

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• 8．如圖，已知一次函數(shù)y=0.5x+2的圖象與x軸交于點A，與二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交于y軸上的一點B，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2．
  （1）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式；
  （2）設一次函數(shù)y=0.5x+2的圖象與二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的另一交點為D，已知P為x軸上的一個動點，且△PBD為直角三角形，求點P的坐標．
  組卷：1128引用：60難度：0.5

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• 9．如圖，拋物線y=

  1

  2

  x²+bx+c與y軸交于點C（0，-4），與x軸交于點A，B，且B點的坐標為（2，0）．
  （1）求該拋物線的解析式．
  （2）若點P是AB上的一動點，過點P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△PCE面積的最大值．
  （3）若點D為OA的中點，點M是線段AC上一點，且△OMD為等腰三角形，求M點的坐標．
  組卷：2239引用：67難度：0.5

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• 10．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個交點A的坐標為（-1，0），對稱軸為直線x=-2．
  （1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
  （2）點D是拋物線與y軸的交點，點C是拋物線上的另一點．已知以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9．求此拋物線的解析式，并指出頂點E的坐標；
  （3）點P是（2）中拋物線對稱軸上一動點，且以1個單位/秒的速度從此拋物線的頂點E向上運動．設點P運動的時間為t秒．
  ①當t為

   

  秒時，△PAD的周長最??？當t為

   

  秒時，△PAD是以AD為腰的等腰三角形？（結果保留根號）
  ②點P在運動過程中，是否存在一點P，使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：730引用：59難度：0.5

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一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（1，-

  3

  ），已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過三點A、B、O（O為原點）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）在該拋物線的對稱軸上，是否存在點C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
  （3）如果點P是該拋物線上x軸上方的一個動點，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由．（注意：本題中的結果均保留根號）
  組卷：708引用：58難度：0.5

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• 30．如圖，已知拋物線y=2x²-2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
  （1）寫出以A，B，C為頂點的三角形面積；
  （2）過點E（0，6）且與x軸平行的直線l₁與拋物線相交于M、N兩點（點M在點N的左側），以MN為一邊，拋物線上的任一點P為另一頂點作平行四邊形，當平行四邊形的面積為8時，求出點P的坐標；
  （3）過點D（m,0）（其中m＞1）且與x軸垂直的直線l₂上有一點Q（點Q在第一象限），使得以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似，求線段QD的長（用含m的代數(shù)式表示）．
  組卷：379引用：54難度：0.5

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