2021-2022學(xué)年北京大學(xué)附中高二 （下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10小題，每題4分，共40分）

• 1．已知集合A=（1，3]，N表示自然數(shù)集，則A∩N=（　?。?/h2>

  A．{1，2}

  B．{1，2，3}

  C．{2}

  D．{2，3}
  組卷：28引用：1難度：0.8

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• 2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（4+5i）z=1，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　?。?/h2>

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：64引用：1難度：0.7

  解析

• 3．拋物線y²=2x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（　?。?/h2>

  A． 1 2

  B．1

  C．2

  D．3
  組卷：131引用：16難度：0.9

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• 4．不等式log₂x+log₂（x-1）＞1的解集是（　　）

  A．（-∞，-1）∪（2，+∞）	B．（-∞，-1）
  C．（2，+∞）	D．（1，+∞）
  組卷：112引用：1難度：0.7

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• 5．已知f（x）=x³-3x,則x₁+x₂=0是f（x₁）+f（x₂）=0的（　?。?/h2>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充分必要條件	D．既不充分又不必要條件
  組卷：322引用：8難度：0.6

  解析

• 6．將定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f（x）的圖像上所有點(diǎn)向右平移一個(gè)單位，再將得到的圖形上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

  1

  2

  倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖像，下列等式一定成立的是（　?。?/h2>

  A．g（-1）=0

  B． g （ - 1 2 ） = 0

  C． g （ 1 2 ） = 0

  D．g（1）=0
  組卷：55引用：1難度：0.7

  解析

• 7．已知圓x²+y²=10與圓x²+y²-2ax-4ay-5=0相交，則a的取值可能是（　?。?/h2>

  A． - 2 3

  B． - 2 4

  C． - 2 6

  D． - 2 8
  組卷：244引用：1難度：0.7

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三、解答題（共6小題，85分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程）

• 20．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  ax

  +

  a

  2

  -

  1

  x

  2

  +

  1

  ，其中a＞0．
  （1）若a=1，求曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
  （2）討論f（x）的單調(diào)性；
  （3）如果對(duì)任意x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1，求a的取值范圍．
  組卷：141引用：1難度：0.2

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• 21．“更相減損之術(shù)”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中提到的用來(lái)求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的算法．任給兩個(gè)正整數(shù)a,b,構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{a_n}，使得a₁=a,a₂=b,且對(duì)任意正整數(shù)n,a_n+2=|a_n+1-a_n|．可以證明{a_n}中一定存在為0的項(xiàng)，且第一個(gè)為0的項(xiàng)的前一項(xiàng)就是a,b的最大公約數(shù)．
  類似地，任給兩個(gè)正整數(shù)a,b,構(gòu)造數(shù)列{b_n}，使得b₁=a,b₂=b,且對(duì)任意正整數(shù)n,b_n+2=|b_n+1-2b_n|．
  （1）若a=1，b=2，寫出b₃，b₄，b₁₀₀的值；
  （2）{b_n}是否有可能是遞增數(shù)列？請(qǐng)對(duì)你的結(jié)論給出證明；
  （3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)a,b,要么{b_n}中不存在最大項(xiàng)，要么數(shù)列{b_n}從某一項(xiàng)起為常數(shù)．
  組卷：9引用：1難度：0.5

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